2010年03月04日

じっちゃんの算数

じっちゃんの算数教室

1..1から20まで足すと?(自然数の和)
2.1+2+4+8+…  (倍加算)
3.36×34=     (同側和十法)
4.インドの掛算     (両首一法) 
5.1.03×0.98=   (近一乗除法)
6.8×6=8×5=8×4(減一・帰一)
7.3456÷8=    (増減一法)
8.64の平方根は?   (めの子平方:引去法)
9.引残法
10.47×32=     (2倍法・エジプトのかけ算)
11.余数乗法
12.指算
13.平方の計算
14.掛けて割る算
15.お釣りの計算
16.9で割れる?     (2〜9の整除性)
17.÷3000、÷999 の計算  
18.1÷0.98 の計算
19.カラス算

1.1から20まで足すと?(自然数の和・等差級数の和)
  例1  1+2+3+……+18+19+20はいくらになるか?
   計算式
(20×21)÷2=420÷2=210        答  210
  例2  1から36までの和はいくらか
   計算式
    (36×37)÷2=1332÷2=666        答  666   
  例3  1から100までの和はいくらか 
   計算式
    (100×101)÷2=10100÷2=5050      答 5050
 
  説明 1から20まで足す場合
  上に1から20まで書きます    1+ 2+ 3+……+18+19+20
  下には逆に 20から1まで書いて 20+19+18+……+ 3+ 2+ 1
上と下を足すと         21 21 21 21 21 21
となって  21が20個できるので、全部たすと 21×20=420 になります。
  この420は1〜20の2つ分ですから、2で割ると、答の210がでます。

  拡大して、等差級数の和を求める公式は(初項+末項)×項数÷2です。
  例4 51〜60 の和を求める。
     初項=51  末項=60  項数=60−51+1=10 
     (51+60)×(60−51+1)=111×10÷2=555   答  555

◎ エピソード
ドイツの大数学者 ガウス(Karl Friedrich Gaugg 1777~1855)が9歳のときでした。
ドイツのブラウンシュワイの小学校でのできごとです。
算数の時間に担任のビュットネル先生が「1から2,3,4と40までたした答をだしなさい」という問題をだしました。
すると、すぐに手をあげて「答は820です」とこたえたのです。そして前のような説明をして、先生を驚かせました。これが子供時代のガウスの有名な逸話です。

2.1+2+4+8+……(倍加算)
  ある数からはじめて、2倍、その2倍、また2倍といくつか作って、その合計をだす
という、足し算の練習です。
 例1 はじめの数を1として、10個足すといくらになるか。 
     1+2+4+8+16+32+64+128+256+512=1023(*)

答の簡単な出し方  
最後の数×2−はじめの数
     512×2−1=1023

  例2 はじめの数:3 個数が10の答はいくらか。
     3+6+12+24+48+96+192+384+768+1536=3069
答の出し方
     @ 1536×2−3=3069
     A 個数が10の場合  3×1023(*)=3069 (例1の3倍だから) 

  例3  はじめの数:86  個数が10のときの答をだしなさい。
     86+172+344+688+1376+2752+5504+11008+22016+44032=87978
   答の出し方
     @ 44032×2−86=87978 
     A 86×1023(*)=87978

3.36×34= の速算法(同側和十法)
  2桁どうしの計算で、「インドの計算」といって話題になる多いが、日本でも古くから使われていた。

 @ 十位が同じで、一位を合わせると十になる場合(同篇和十)
             36
           × 34
  1224    
(3×3+3)→  1224 ←(6×4)…(3×3+3)×100+6×4=1224
 A 一位が同じで、十位を合わせると十になる場合(同旁和十)
              87
            × 27
  2349
(8×2+7)→ 2349 ←(7×7)…(8×2+7)×100+7×7=2349
 Bかけられる数が同数字で、かける数の一位と十位とを合わせると十になる数の場合(同冠和十)
             33
×  46 
            1518 
(3×4+3)→ 1518 ←(3×6)…(3×4+3)×100+3×6=1518
 Cかけられる数の一位と十位を合わせると十になり、かける数が同数字の場合
  Bの、かける数とかけられる数が、入れ替わっている場合(同沓和十)
37
× 66 
2442
(3×6+6)→ 2442 ←(7×6)…(3×6+6)×100+7×6=2442
◎ これを拡大すると、つぎのように発展します。
BD4
×  BD6 
126024   (35×35+35)×100+4×6=126024

C83
   ×  C17   
201411   (4×4+4)×10000+83×17=201411

HG74
×  HG26  
97021924   (98×98+98)×10000+74×26=97021924
実用的ではありませんが、数楽の一つとしてためしてみてください。

4.インドの掛け算(2けた×2けた)
@ 十位が1のとき(両首一法)
  例 1. 17×13=221 
         17
×  13
        221 (17+3)×10+7×3=221

  例 2. 18×16=288 
         18
  ×  16
    240     
         48            

    288 (18+6)×10+8×6=288  

 A 十位が同じ数のとき(中国では、首位相同法)
  例 3. 28×26=728
          28
       ×  26 
         680 ←(28+6)×20
          48 ←(8×6)
         728 (28+6)×20+8×6=728

  例 4. 73×74=5402
          73
       ×  74
        5390 ←(73+4)×70
          12 ←(3×4)
        5402 (73+4)×70+3×4

  例 5. 103×104=10712
         103
       × 104
10700 ←(103+4)×100
   12 ←(3×4)
10712 (103+4)×100+3×4=10712

 B 一位が同じ数のとき(中国では、末位相同法)
  例 6. 42×32=1344
          42
       ×  32
        1200 ←(40×30)
         144 ←(42+30)×2
        1344  40×30+(42+30)2=1344

  例 7. 39×59=
          39
       ×  59
        1500 ←30×50
         801 ←(39+50)×9
        2301  30×50+(39+50)×9=2301

5.1に近い数どうしの計算(近一乗・除法)
 @ 1に近い数どうしの掛算
  *計算方法:2つの数をたして1を引く
    1.03×1.02=1.03+1.02―1=1.05(1.0506)
    1.04×0.98=1.04+0.98―1=1.02(1.0192)
    0.98×0.97=0.98+0.97―1=0.95(0.9506) 

 A 1に近い数どうしの割算
  *計算方法:1をたして割る数を引く
    1.03÷1.02=1.03+1−1.02≒1.01(1.0098…)
    1.02÷1.03=1.02+1−1.03≒0.99(0.9902…)
    1.04÷0.98=1.04+1−0.98≒1.06(1.0612…)
    0.98÷1.02=0.98+1−1.02≒0.96(0.9607…)
    0.98÷0.96=0.98+1−0.96≒1.02(1.0208…)
    0.96÷0.98=0・96+1−0.98≒0.98(0.9795…)     
       
6.8×6=8×5=8×4=(減一・帰一乗法)
   * 8×6=48  です
   * 8+8×5= (8に8の5倍をたす)
     ソロバンで計算すると
              8    
             40 ←(8×5)
             48
   * 8×10−8×4= (8の10倍から、8の4倍を引く)
             80
            −32 ←(8×4)
             48 

7.「九九」を使用しないわり算(増成一法)
  中国では、ソロバンが発生するまで「籌(ちゅう)」とよばれる「算木」で計算が行われていたが、しかし、けっこう手間がかかるので、いろいろな工夫をいろいろな方法が 考えられながら発達した。
  発達の一つの段階として「増成一法」といって、つぎのような方法がおこなわれて  いたが、特徴は加減のみで全く「九九」を使わないでする除法である。

  例  3456÷8=
   *3   4   5   6   8で割る(*は途中のソロバン面である)   
       +2           8と10との差=2(補数という)
       +2           @首位の3を仮の答として、つぎの位に補数
       +2            の2を3回たす
   *3  10   5   6
       −8           A10から除数の8を引く
   +1               B8が1回引けたので、上の位に1をたす  
   *4   2   5   6   C4は確定する
           +2       Dつぎの2を仮の答として、つぎの位に補数
           +2        の2を2回たす 
   *4   2   9   6   
           −8       E9から除数の8を引く
       +1           F8が1回引けたので、上の位に1をたす
   *4   3   1   6   G4と3が確定する 
                    Hつぎの1を仮の答として、つぎの位に補数
               +2    2を1回たす
   *4   3   1   8
               −8   I8から除数の8を引いて上の位に1をたす
   *4   3   2        答は 432 である 
                        ・  ・  ・  ・
  この計算はソロバンでは、定位点にあわせて  3・・4・・5・・6 と布数して 
 計算すれば簡単にできる。
  この計算が発展して、「割り声(割り算の九九)」がうまれた。なお、中国では、なるべく考えずに答を算出する工夫をした。

8.64の平方根はいくらか(めの子平法・引き去り法)
       @ A B C D  E  F  G
    64−1−3−5−7−9−11−13−15=0 
と奇数を8回引けば0になるので、64の平方根は 8 である。
  
9.引き残し法
    64−1−1−2−2−3−3−4−4−5−5−6−6−7−7=8

10. 47×32=1504(2掛け乗・除法・エジプトの掛算・割算)
        47   32         47    1
        94   16         94    2
       188    8        188    4
       376    4        376    8

       752    2        752   16

      1504    1       1504   32

   86×53=4558

        86*  53         86    1*
       172   26        172    2
       344*  13        344    4*
       688    6        688    8
      1376*   3       1376   16* 
      2752*   1       2752   32*
*印の数の合計をすれば、      右の数を2倍ずつしていく、  
     答の 4558 が求め      32を2倍すれば 53 を
     られる。             超えるのでストップして、
     86+344+1376      53−32−16−4−1=0
+2752=4558       *印の左の数を合計すれば
                      答の 4558 が求められる。

11.余数(補数)乗法
   例1  8×6=(10−2)×(10−4)=48
      *ソロバンでは、この2と4を補数といって、8の補数は2、6の補数は4
       であるといいます。
   計算方法  (8+6)×10+2×4−100=48
   例2. 7×6=(10−3)×(10−4)=42  
    計算方法  (7+6)×10+3×4−100=42
   例3. 9×3=(10−1)×(10−7)=27
    計算方法  (9+3)×10+1×7−100=27
   例4. 4×2=(10−6)×(10−8)=8
    計算方法  (4+2)×10+6×8−100=8 

12.指でするかけ算
  前の11.を延長あいたのが、よくいわれる指算で、6,7,8,9の段どうしのかけ算である。最近までヨーロッパ(フランス・ルーマニアの農民、モルドヴァ・セルビアのジプシー・イランのクルド人などのあいだ)で使われていたらしい。
     8×6=48
    計算の手順 @5の段までの九九は覚えさせる。
          A左手の指で、親指から小指に向かって1,2,3,4、5とおりまげて、6,7,8と起こす。(3本起きている)
          B右手の指で、親指から小指に向かって1,2,3,4,5とpりまげ
           て、6と起こす。(1本起きている)
          C左右の起きている指は、1本を10と数える。(4本で40)
          D左右の曲げた指どうしかけ合わせる。(2×4=8)
          ECの数とDの数とを加えて、積とする。(40+8=48)
   *10を超えた数どうしのやり方もあるが、ここでは省きます。

13.自乗の計算
     67×67=4489         89×89=7921
    ソロバン面   67                 89            
               42                 72
               42                 72
               49                 81
            6・889              81521 
             36                  64
             4489                7921

14.かけて割る算
   ÷2=×1/2=×0.5   8÷2=8×0.5=4
   ÷3=0.3333…     9÷3=9×0.3333=2.9997≒3
   ÷4=0.25        8÷4=8×0.25=2
   ÷5=0.2        20÷5=20×0.2=4
   ÷6=0.1666…    30÷6=30×0.1666=4.998≒5
   ÷7=0.142857…  70÷7=70×0.142857=9.99999≒10
   ÷8=0.125      40÷8=40×0.125=5
   ÷9=0.1111…    90÷9=90×0.1111=9.999≒10

15. おつりの計算
  日本では、買い物で「おつり」を計算するとき、
 例えば、合計 387円 の買い物をして 500円 で支払おうとすると、
 500円―387円=113円 で、113円のお釣りをくれます。
  ところが、ヨーロッパなどを旅行して、買い物をすると、まえの例の場合だと、
   商品(387円)+1円(388円)+1円(389円)+1円(390円)
+10円(400円)+100円=500円 となって、
商品とお金を(全部で500円)くれます。この方法だと、計算をしなくとも(計算ができなくとも)もらった人も納得します。
英語では、お釣りのことを「チェンジ(交換する)」といって、同じ価値のものどうしを交換することです。そこには西洋流の合理的に納得し安心できるのです。
日本でいう「お釣り」も、商品と払ったお金が釣り合うということで、同じ意味といえます。

16. 9で割れる?(2〜9の整除性)
    任意の整数を、ある整数で割って、整数で割り切れることを整除性といいます。    
   @ 2の整除性
     偶数は2の倍数である。
   A 3の整除性
     単一数(各位格の数字を合計した数、例378 3+7+8=18と2けたになったので、さらに足しあわせて 1+8¬=9 と1けたにした数)が、3の倍数であれば、3で割り切れる。
   B 4の整除性 
     (イ)末尾の2桁が、00か4の倍数であれば、その数全体が4の倍数である。
     (ロ)偶数で、下2桁を2で割ってもその答が偶数であれば、4の倍数である。
   C 5の整除性
     一位が、0か5であれば、5の倍数でる。
   D 6の整除性,
     偶数で、単一数が3の倍数であれば、6で割り切れる。 
   E 7の整除性
* 7が一番複雑である。
     (イ)一位から、3桁ずつの群にわけて、奇数番目の群の和から、偶数番目の和を引いた差が、0か7で割れれば全体の数が7の倍数である。
        例 3,912,657,840
(840+912)−(657+003)=1,092
          092−001=91 91÷7=13 と7で割り切れるので、
          3,912,657,840は 7の倍数である。
     (ロ)1位(7位)数の1倍、2位(8位)数の3倍、3位(9位)数の2倍、
        4位(10位)数の6倍、5位(11位)数の4倍、6位(12位)数の5倍した数の和が、7で割り切れれば、全体の数は7の倍数である。
        例 3,912,657,840
         0×1+4×3+8×2+7×6+5×4+6×5+2×1+1×3+9×2+3×6=161 161÷7=23 と7で割り切れるので、
          3,912,657,840は 7の倍数である。
     (ハ)末位数の2倍をその上位から引いて、順次上位へ引いて残数が7で割り切れれば、全体の数は7の倍数である。
        例 3,912,657,840
3912657840
                    −8C 
               3912657000
                  −14F
              3912510000
                  −2@        
               3912300000
                ―6B
               3806000000
              −12E 
              3780000000           
             −16G
               21
        21は7で割りきれるので、全体の数は7の倍数である。
     (ニ)上位から1001の倍数(9009,8008,…)を引き去って、3桁になれば、777を引いて残数が7で割り切れれば、全体は7の倍数である。
        例 3,912,657,840
3912657840
   −3003
                909657840                  
               −9009    
                  8757840
                 −8008
                  749840
                  −7007
                    49140
                   −4004
                     9100
                    −9009
                      910
                    −777
                      133
           133÷7=19 と7で割れるので、全体は7の倍数である。                                  
     (ホ)3×(1位目の数)+2×(2位目の数)−1×(3位目の数)−3×(4位目の数)−2×(5位目の数)+1×(6位目の数)+3×(7位目の数)−2×(8位目の数)−1×(8位目の数)−3×(9位目の数)が、7で割り切れれば、全体の数は7の倍数である。
       例 3,912,657,840    
3×0+2×4−1×8−3×7−2×5+1×6+3×2+2×1−1×9−3×3=0+8−8−21−10+6+6+2−9−9=−35   
       −35は、7で割り切れるので、全体の数は7の倍数である。
     (へ)A+5Bが7の倍数であれば、10A+Bは7の倍数である。 
       例  329
       A=32 B=9 A+5B=32+5×9=77 は7で割り切れるので、
       32×10+5×9=77 で7で割り切れるので、
32×10+9=329 は7の倍数である。
   F 8の整除性
     (イ)末尾の3桁が、000か8の倍数であれば、全体の数は8の倍数である。
     (ロ)偶数で、下3桁を2で2回割っても偶数でれば、8の倍数である。
     (ハ)百位が偶数のときは、下2桁が8で割る。
        百位が奇数のときは、下2桁に20を加減して8で割る。
     (ニ)1×(一位の数))+2×(十位の数)+4×(百位の数)が8で割り切れれば、全体の数は8の倍数である。
   G 9の整除性
     その数の単一数が9となれば、9の倍数である。

17. ÷3001,÷999 (被除数に、商が隠れている)
   例1   1,941,647÷3,001= 647
   例2   4,184,523÷8,001=523
   例3   168,831÷999=(1000−831)=169(831の補数)
   例4   998,001÷999=(1000−001)=999(001の補数)

18.1÷0.98の計算
   1−0.98=0.02 なので、
  ソロバンでの計算方法
   1+0.02(1×2=2)=1.02
   1.02+0.0004(2×2=4)=1.0204
   1.0204+0.000008(4×2)=1.020408
   1.020408+0.00000016(8×2)=1.02040816
   
19.999×999=   (カラス算)
   999×999=998001
999×(1000−1)と考えて、ソロバンの6けた目(十万の位)から、
   999と布数すると、999000となって、そこから 999を引いて
999000−999=998001を得る。

posted by そろまんが at 15:20| Comment(0) | 日記 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする
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